Pfaffsche Form Beispiel Essay

Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie bezeichnet Pfaffsche Form (nach Johann Friedrich Pfaff[1]) oder Differentialform vom Grad 1 oder kurz 1-Form ein Objekt, das in gewisser Weise dual zu einem Vektorfeld ist. Pfaffsche Formen sind die natürlichen Integranden für Wegintegrale.

Kontext[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei

  • eine offene Teilmenge des
  • oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des
  • oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

Elementare Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine pfaffsche Form auf ordnet jedem Punkt eine Linearform zu. Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des Dualraumes des Tangentialraumes . Der Raum wird Kotangentialraum genannt.

Eine pfaffsche Form ist also eine Abbildung

Andere Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine differenzierbare pfaffsche Form ist eine -lineare Abbildung Stetige oder messbare pfaffsche Formen sind analog definiert.
  • Die oben gegebene Menge wird als Kotangentialbündel bezeichnet. Das ist nichts anderes als das duale Vektorbündel des Tangentialbündels. Eine pfaffsche Form kann damit als Schnitt des Kotangentialbündels definiert werden.
  • Die pfaffschen Formen sind genau die kovarianten Tensorfelder erster Stufe.

Totales Differential einer Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch: Totales Differential

Das totale Differential oder die äußere Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist die pfaffsche Form, die folgendermaßen definiert ist: Ist ein Tangentialvektor, so ist: also gleich der Richtungsableitung von in Richtung .

Ist also ein Weg mit und , so ist

Es gilt:

Ist auf ein Skalarprodukt gegeben, so lässt sich das totale Differential von mit Hilfe des Gradienten darstellen:

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Koordinatensystem auf . Die Koordinaten können als Funktionen

aufgefasst werden, die einem Punkt seine -te Koordinate zuordnen. Die totalen Differentiale dieser Funktionen bilden eine lokale Basis. Das heißt, für jeden Punkt ist

eine Basis von .

Damit lässt sich jede pfaffsche Form auf eindeutige Weise als

mit Funktionen schreiben.

Die äußere Ableitung einer beliebigen differenzierbaren Funktion hat die Darstellung

Definition des Kurvenintegrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in und eine 1-Form auf . Dann ist das Integral von entlang definiert als:

Dabei bezeichnet die Ableitung von nach dem Parameter .

Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetig differenzierbare Funktion stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter kann als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt befindet man sich am Ort . Dann wird entlang einer bestimmten Bahn oder Kurve zum Ort gefahren. Also zum Zeitpunkt ist der Endpunkt der Kurve erreicht. Wird zu jedem Zeitpunkt der Ort des Überfahrens notiert, so ergibt sich die Abbildung .

Es ist anschaulich klar, dass dieselbe Kurve auf unterschiedliche Weise überfahren werden kann. So ist konstante Geschwindigkeit eine Möglichkeit. Eine weitere ergibt sich aus einem langsamen Start und mit anschließender Beschleunigung. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung „Kurvenintegral“ ist deshalb gerechtfertigt, weil gezeigt werden kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist. Mit einer Ausnahme: Wird der Anfangs- und Endpunkt der Kurve vertauscht, also erfolgt die Bewegung vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals.

Im Anschauungsraum können Tangential- und Kotangentialvektoren mithilfe des Skalarproduktes miteinander identifiziert werden: Einem Kotangentialvektor entspricht der Vektor , für den

für alle

gilt. So können 1-Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Dem Integral einer 1-Form entspricht das (gewöhnliche) Integral über das Skalarprodukt mit dem Tangentenvektor:

Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist der Integrand die (gerichtete) Länge der Projektion des Vektors auf die Tangente an die Kurve:

- Он проводил Беккера в фойе, показал, где находится консьерж, и поспешил исчезнуть. Фойе оказалось помещением с изысканной отделкой и элегантной обстановкой.

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